摘要:對直梁圓角形柔性鉸鏈的柔度矩陣進行了研究。首先,基于懸臂梁理論推導了直梁圓角形柔性鉸鏈平面內變形的解析計算方法,建立了柔性鉸鏈平面內柔度矩陣的閉環(huán)解析模型,并給出了r/t(r為鉸鏈圓角半徑,t為鉸鏈厚度)時柔度矩陣的簡化計算公式。然后,建立了直梁圓角形柔性鉸鏈的有限元模型,得到了柔性鉸鏈結構參數r/t和l/t(l為鉸鏈長度)變化時柔度矩陣解析值和有限元仿真值的相對誤差,以及r/t變化時柔度矩陣簡化解析值和仿真值的相對誤差。結果表明:采用懸臂梁理論建立的柔性鉸鏈柔度矩陣模型,當l/t≥4時,柔度矩陣各項參數的理論解析值與有限元仿真值相對誤差在5.5%以內,當0.1≤r/t≤0.5時,兩者的相對誤差能夠控制在9%以內,當0.2≤r/t≤0.3時,兩者的相對誤差能夠控制在6.5%以內;當r/t≤0.3時,簡化解析值與仿真值的相對誤差控制在9%以內,當r/t≤0.2時,簡化解析值與仿真值的相對誤差控制在7%以內,從而驗證了柔度矩陣閉環(huán)解析模型的正確性。建立的直梁圓角形柔性鉸鏈柔度矩陣閉環(huán)解析模型可為柔性鉸鏈以及柔性體機構的設計和優(yōu)化提供理論依據。

引言

柔性鉸鏈利用其自身的彈性變形而非剛性元件的運動來傳遞或轉換運動、力或能量,相對于傳統(tǒng)運動鉸鏈,柔性鉸鏈具有運動分辨率高、無摩擦、無需潤滑、制造工藝簡單等優(yōu)點,已被廣泛應用于投影光刻物鏡、硅片工作臺、電子掃描顯微鏡、空間光學遙感器[7飊8]等精密器件,以及精密和超精密加工等領域。柔性鉸鏈的柔度是柔性鉸鏈、柔順機構的關鍵參數,直接關系到柔順機構的動態(tài)特性及其末端的定位精度。國內外圍繞柔性鉸鏈的柔度開展了很多研究工作。Paros等推導了單軸和雙軸圓弧形柔性鉸鏈柔度的精確計算公式以及簡化公式。吳鷹飛等給出了圓弧形柔性鉸鏈柔度更為簡潔的計算方法。Smith等給出了橢圓形柔性鉸鏈的柔度矩陣計算方法,并通過有限元和實驗的方法進行了驗證。Lobontiu等[14]基于卡氏第二定理建立了直梁圓角形柔性鉸鏈柔度的理論模型,并將其應用到平面運動放大機構中,但該理論模型沒有考慮剪切力的影響。Hale[15]對直梁圓角形柔性鉸鏈進行了分析,建立了其柔度矩陣的計算模型,但模型僅考慮了柔度矩陣對角線的元素。Xu等通過有限元方法對圓弧形、直梁圓角形和橢圓形柔性鉸鏈的運動精度進行了分析。

基于上述研究現狀,本文針對直梁圓角形柔性鉸鏈的柔度矩陣進行了研究。

1直梁圓角形柔性鉸鏈的柔度矩陣

直梁圓角形柔性鉸鏈如圖1所示,鉸鏈整體為直梁片狀結構,鉸鏈兩端與基體接觸處為避免應力集中采用圓角進行過渡。直梁圓角形柔性鉸鏈的主要幾何參數包括鉸鏈高度h、鉸鏈長度l、鉸鏈厚度t和鉸鏈圓角半徑r。

直梁圓角形柔性鉸鏈的模型如圖2所示,將柔性鉸鏈的右端固定,將輸入力和力矩作用在柔性鉸鏈的左端,定義x軸正方向為柔性鉸鏈固定端指向自由端,y軸為垂直于直梁薄片平面方向,坐標系遵循右手定則。圖中0-1段和3-4段為圓角部分,1-3段為直梁部分。柔性鉸鏈為厚度t隨著x變化的變截面梁,其函數表達式為

2 直梁圓角形柔性鉸鏈柔度矩陣的有限元驗證

為了驗證推導得到的直梁圓角形柔性鉸鏈的柔度矩陣閉環(huán)解析式,采用UGNXNASTRAN軟件對直梁圓角形柔性鉸鏈進行了有限元建模仿真和分析。

直梁圓角形柔性鉸鏈的有限元模型如圖3所示。柔性鉸鏈的材料為銦鋼,其彈性模量E=141GPa,泊松比v=0.259。建模時將柔性鉸鏈的右端完全約束,在左側的直梁自由端點4處施加單位力Fx、Fy和單位力矩Mz。

圖4所示為直梁圓角形柔性鉸鏈加載單位力/力矩時的仿真分析結果。為了分析直梁圓角形柔性鉸鏈各結構參數對柔度矩陣的影響,分別分析了比值l/t和r/t變化時,柔度矩陣各參數的解析值和仿真值的相對誤差,同時也分析了比值r/t變化時簡化解析值與仿真值的相對誤差。

數的影響,分別取l/t=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,并固定r=0.3mm,h=11mm,對柔度矩陣各項參數的解析值與仿真值進行了分析,得到的數據如表1所示。

將表1的數據轉化成圖5所示的點圖形式。由圖5可知:柔度矩陣參數cx,Fx、cy,Mz、cQz,Mz的解析值與仿真值相對誤差隨比值l/t的變化很小,而cy,Fy和cQz,Fy的解析值與仿真值相對誤差的絕對值則隨比值l/t的增大而減小。當l/t曒4時,柔度矩陣的上述各項系數,理論解析值與有限元仿真值的相對誤差均能夠控制在5.5%以內。當比值l/t<4時,由于懸臂梁不能簡化為細長梁,柔度矩陣參數cy,Fy和cQz,Fy理論值與有限元仿真值之間的相對誤差比較大。因此上述直梁圓角形柔性鉸鏈的柔度閉環(huán)解析模式,適用于l/t較大的情況。

2.2比值r/t對柔度矩陣各參數的影響

為了分析比值r/t對柔度矩陣解析式各項參數的影響,分別取r/t=0.1,0.2,0.3,0.4,0.5,0.6,0.7,0.8,0.9,1.0,并固定l=4mm,h=11mm對柔性鉸鏈進行了分析,得到柔度矩陣各項參數的解析值與仿真值,如表2所示。

將表2的數據轉化成圖6所示的點圖形式。由圖6可知:柔度矩陣參數cy,Mz、cQz,Fy的解析值與仿真值相對誤差的絕對值隨比值r/t的增大而增大;柔度矩陣參數cy,Fy、cQz,Mz的解析值與仿真值相對誤差的絕對值隨著比值r/t的增大而減小;柔度矩陣參數cx,Fx解析值與仿真值相對誤差的絕對值隨著比值r/t的增大先減小后增大。當r/t≤0.5時,上述柔度矩陣各參數的解析值與有限元仿真值相對誤差能夠控制在9%以內,當0.2≤r/t≤0.3時,相對誤差能夠控制在6.5%以內。

2.3暋比值r/t對柔度矩陣簡化值各參數的影響柔度矩陣各項參數的推導過程中,給出了r烆t時各項參數的簡化解析公式,為了說明給出的簡化解析公式的適用范圍,分別取r/t=0.1,0.2,0.3,0.4,0.5,0.6,0.7,0.8,0.9,1.0,并固定l=4mm,h=11mm對柔性鉸鏈進行了分析。得到柔度矩陣各項參數的簡化解析值與仿真值,如表3所示。

將表3的數據轉化成圖7所示的點圖形式,可知柔度矩陣各項參數的簡化解析值與仿真值相對誤差隨著比值r/t的增大而增大,當r/t≤0.3時,解析值與有限元仿真分析結果的相對誤差能夠控制在9%以內,當r/t≤0.2,兩者相對誤差均能夠控制在7%以內。

3 結語

本文建立的直梁圓角形柔性鉸鏈柔度矩陣閉環(huán)解析模型,可為柔性鉸鏈以及柔性體機構的設計優(yōu)化提供理論依據。