概要：以材料力學和微積分的相關(guān)知識為基礎(chǔ), 推導了四種復合型柔性鉸鏈的彎曲剛度和拉伸、壓 縮剛度計算公式。以倒圓角直梁型柔性鉸鏈為例, 基于有限單元法驗證所推導剛度計算公式的正確性。采用解析法對四種復合型柔性鉸鏈的剛度性能進行對比分析。結(jié)果表明, 橢圓直梁復合型柔性鉸鏈的彎曲剛度和拉伸剛度最小; 分別將其應(yīng)用于柔性T型聯(lián)結(jié)節(jié)結(jié)構(gòu)中, 采用有限單元法對各柔性T型聯(lián)結(jié)節(jié)的剛度性能進行對比分析, 結(jié)果表明, 由橢圓直梁復合型柔性鉸鏈構(gòu)成的柔性T型聯(lián)結(jié)節(jié)的變形補償能力最強。

引言

柔性鉸鏈常用于各種要求小角位移、高精度轉(zhuǎn)動等場合, 工作時可消除傳動過程中的空程和機械摩擦。按照結(jié)構(gòu)型式, 柔性鉸鏈可分為, 直梁型、圓弧型、橢圓型、倒圓角直梁型、拋物線型和雙曲線型。剛度是柔性鉸鏈最主要的性能指標之一, 直接反 映了其抵抗外載的能力和運動副的柔性程度。Paros J M 和Weisbord L 于1965年推導出圓弧型柔性鉸鏈的剛度計算公式, 但該公式形式較復雜, 使用不便。文獻利用力學基本公式推導出比文獻給出的剛度計算公式更為簡潔的表達式。由于柔性鉸鏈實際結(jié)構(gòu)的幾何尺寸不能完全滿足理論分析的假設(shè)條件, 為此許多文獻采用有限單元法對柔性鉸鏈的剛度性能進行研究。

根據(jù)實際需要, 作者在倒圓角直梁型柔性鉸鏈的 基礎(chǔ)上, 提出三種新型復合型柔性鉸鏈: 橢圓直梁復合型、拋物線直梁復合型和雙曲線直梁復合型柔性鉸鏈。 本文中推導出四種復合型柔性鉸鏈的剛度計算公式, 并對該四種柔性鉸鏈的剛度性能進行對比分析; 分別 將其應(yīng)用于柔性T型聯(lián)結(jié)節(jié)結(jié)構(gòu)中, 采用有限單元法 對各柔性T型聯(lián)結(jié)節(jié)的剛度性能進行對比分析。

1 剛度計算公式的建立

1.1 倒圓角直梁型和橢圓直梁復合型柔性鉸鏈剛度計算公式

倒圓角直梁型和橢圓直梁復合型柔性鉸鏈分別由圓弧型或橢圓型與直梁型柔性鉸鏈復合而成。其桿部截面均為矩形, 兩鉸鏈分別由4個垂直于端面的圓柱面或橢圓面與兩個矩形塊對稱切割而成。

如圖1所示為兩種復合型柔性鉸鏈的受力分析圖, 分析該圖可以看出: 力矩M_z使該兩種復合型柔性鉸鏈產(chǎn)生H角度的微小角位移, 力F_x使其產(chǎn)生沿軸的微小線位移&₁。

根據(jù)材料力學彎曲變形和高等數(shù)學微積分的相關(guān)知識, 可推導出該兩種復合型柔性鉸鏈的彎曲剛度和拉伸/壓縮剛度計算公式。

倒圓角直梁型和橢圓直梁復合型柔性鉸鏈的彎曲剛度計算公式分別為




 

1. 2 拋物線和雙曲線直梁復合型柔性鉸鏈剛度計算公式

拋物線和雙曲線直梁復合型柔性鉸鏈分別由拋物線或雙曲線型與直梁型柔性鉸鏈復合而成。其桿部截面均為矩形, 兩鉸鏈分別由4個垂直于端面的拋物面或雙曲面與兩個矩形塊對稱切割而成。

如圖2 所示為兩種復合型柔性鉸鏈的受力分析圖, 分析該圖可以看出: 轉(zhuǎn)動力矩使該兩種復合型柔性鉸鏈產(chǎn)生角度的微小角位移; 拉伸或壓縮力使其產(chǎn)生沿軸的微小線位移$l。

根據(jù)卡氏第二定理, 可推導出拋物線和雙曲線直梁復合型柔性鉸鏈的彎曲剛度計算公式分別為

同理, 可得出拋物線和雙曲線直梁復合型柔性鉸 鏈的拉伸/ 壓縮剛度計算公式分別為

以上各式中, b為寬度,mm; t為鉸鏈最小半厚度, mm; c為鉸鏈切割深度, mm; L₁為拋物線或雙曲線部分長度, mm; L₂為直梁部分長度, mm。

2 驗證剛度計算公式的正確性

以倒圓角直梁型柔性鉸鏈為例, 基于有限單元法對所推導的剛度計算公式進行驗證。如表1所示為倒圓角直梁型柔性鉸鏈的三組結(jié)構(gòu)參數(shù)。由于實體單元只有移動自由度, 不便于力矩的施加, 因此采用橫截面可連續(xù)變化的梁單元建立柔性鉸鏈的有限元模型。在左端固結(jié), 右端分別承受彎曲力矩或拉伸/壓縮力的邊界條件下, 得出各倒圓角直梁型柔性鉸鏈的彎曲剛度和拉伸/壓縮剛度計算結(jié)果如表2和表3所示。

 

表1 三組倒圓角直梁型柔性鉸鏈結(jié)構(gòu)參數(shù)

序號	b/mm	t/mm	R/mm	L/mm
1	0.3	0.2	0.4	0.5
2	0.8	0.6	1.2	1.0
3	1.6	1.2	2.4	2.5

表2 彎曲剛度計算結(jié)果

序號	解析解/ ( N.m/rad)	有限元解/ ( N.m/ rad)	相對誤差
1	0. 109 9	0. 109 866	0. 030 9%
2	0. 662 2	0. 662 251 7	0. 007 8%
3	28. 900	28. 902	0. 006 9%

表3 拉伸/ 壓縮剛度計算結(jié)果

序號	解析解/ ( N/ m)	有限元解/ (N/m)	相對誤差
1	2. 8444 × 107	2. 8409× 107	0. 1230%
2	2. 9008 × 107	2. 8986× 107	0. 0758%
3	2. 8357  × 108	2. 8329×108	0. 0987%

分析以上計算結(jié)果可以看出, 兩種計算方法的相對誤差小于0. 2% , 證明本文中所推導的倒圓角直梁 型柔性鉸鏈的剛度計算公式是正確的。

3 分析四種復合型柔性鉸鏈剛度大小

橢圓直梁復合型、拋物線直梁復合型和雙曲線直梁復合型柔性鉸鏈是在倒圓角直梁型柔性鉸鏈的基礎(chǔ)上, 提出的三種新型復合型柔性鉸鏈。為對四種復合型柔性鉸鏈的剛度性能對比分析, 保持其主要結(jié)構(gòu)參數(shù)( 即直梁部分長度、總長度、鉸鏈寬度和最小厚度) 分別相同, 基于所推導的剛度計算公式分別計算各復合型柔性鉸鏈的彎曲剛度和拉伸剛度, 并將計算結(jié)果列于表4和表5。

 

表4 四種復合型柔性鉸鏈的彎曲剛度對比

序號	彎曲剛度/ ( N.m/ rad)
	橢圓直梁 復合型	倒圓角直梁 復合型	拋物線直梁 復合型	雙曲線直梁 復合型
1	0. 0066	0. 0069	0. 0520	0. 0571
2	0. 1974	0. 2138	1. 5543	1. 7407
3	1. 4179	1. 4890	11. 2027	12. 4540

 

表5 四種復合型柔性鉸鏈的拉伸剛度對比

序號	拉伸剛度/ (N/m)
	橢圓直梁 復合型	倒圓角直梁 復合型	拋物線直梁 復合型	雙曲線直梁 復合型
1	6. 2258 ×106	6. 4879 × 106	1. 21990 ×107	1. 2956 × 107
2	1. 9679 × 107	2. 1105 ×107	3. 83840 × 107	4. 0982 × 107
3	3. 6347 × 107	3. 8029 ×107	7. 10840 × 107	7. 5929 × 107

分析表4和表5可以看出: 與其他的柔性鉸鏈相比, 在同樣的尺寸規(guī)格條件下, 橢圓直梁復合型柔性鉸鏈的剛度最小, 即變形補償能力最強。

4 應(yīng)用實例

如圖3所示的柔性T型聯(lián)結(jié)節(jié)是一種新型的柔性連接與傳動結(jié)構(gòu), 其主要利用柔性鉸鏈實現(xiàn)承擔軸向拉壓的同時吸收彎曲和扭轉(zhuǎn)。此處的柔 性鉸鏈可以采用倒圓角直梁型、橢圓直梁復合型、拋物線直梁復合型及雙曲線直梁復合型柔性鉸鏈, 我們分別將以上4種復合型柔性鉸鏈應(yīng)用于該柔性T型聯(lián)結(jié)節(jié)結(jié)構(gòu)中, 并對其剛度性能進行研究。 取柔性T型聯(lián)結(jié)節(jié)的主要結(jié)構(gòu)尺寸為: 外徑D_o= 112mm, 內(nèi)徑D_i= 82mm, 總長L_w = 216mm, 決定中間 環(huán)位置的參數(shù)L₃= 50mm; 為保持可比性, 使四種復合型柔性鉸鏈的主要結(jié)構(gòu)參數(shù)分別相同, 即直梁部分長度L2= 50mm, 總長度L_H= 70mm, 寬度b= 5mm, 最小厚度t= 6mm。

由于柔性T型聯(lián)結(jié)節(jié)形狀不規(guī)則, 因此采用四面體結(jié)構(gòu)實體單元分別建立各柔性T型聯(lián)結(jié)節(jié)的有限元模型。在左端固結(jié), 右端分別承受1mm的拉伸線位移、0. 01rad的彎曲和扭轉(zhuǎn)角位移的邊界條件下, 通過有限元數(shù)值求解得出如表6所示的各柔性T型聯(lián)結(jié)節(jié)的拉伸剛度、彎曲剛度和扭轉(zhuǎn)剛度計算結(jié)果?？梢钥闯? 由橢圓直梁復合型柔性鉸鏈構(gòu)成的柔性T型聯(lián)結(jié)節(jié)的各剛度均小于同樣尺寸規(guī)格的由其他類型柔性鉸鏈構(gòu)成的柔性T型聯(lián)結(jié)節(jié)的各剛度, 說明在四種復合 型柔性鉸鏈中, 由橢圓直梁復合型柔性鉸鏈構(gòu)成的柔性T型聯(lián)結(jié)節(jié)的變形補償能力最強。

 

表6 四種柔性T 型聯(lián)結(jié)節(jié)剛度計算結(jié)果

類型	拉伸剛度 / (N/m)	彎曲剛度 / (N.m/rad)	扭轉(zhuǎn)剛度 / (N.m/rad)
由倒圓角直梁型柔性鉸鏈構(gòu)成 柔性T型聯(lián)結(jié)節(jié)	5340400	594. 22	9187. 3
由橢圓直梁復合型柔性鉸鏈構(gòu) 成柔性T型聯(lián)結(jié)節(jié)	5326800	590. 85	9061. 3
由拋物線直梁復合型柔性鉸鏈 構(gòu)成柔性T型聯(lián)結(jié)節(jié)	5410600	613. 03	9930. 1
由雙曲線直梁復合型柔性鉸鏈 構(gòu)成柔性T型聯(lián)結(jié)節(jié)	5457400	629. 82	10592. 0

5 結(jié)論

所研究的4 種復合型柔性鉸鏈作為新型的連接與傳動部件, 在微米級領(lǐng)域具有廣闊的應(yīng)用前景。通過本文的研究, 可以得出如下結(jié)論:

(1) 倒圓角直梁型柔性鉸鏈各剛度解析解與有限元解吻合較好, 證明本文所推導的剛度計算公式是正確的。

( 2) 在同樣的尺寸規(guī)格條件下, 與其他三種復合型柔性鉸鏈相比, 橢圓直梁復合型柔性鉸鏈的轉(zhuǎn)動能力、對載荷的敏感性最優(yōu)。

( 3) 在四種復合型柔性鉸鏈中, 由橢圓直梁復合型柔性鉸鏈構(gòu)成的柔性T型聯(lián)結(jié)節(jié)的運動能力、對載荷的敏感性最優(yōu)。