摘要：柔性鉸鏈在微機電領域得到了日益廣泛的應用。該文提出了一種新型柔性鉸鏈：單邊直圓橢圓混合型柔性鉸鏈，以卡氏第二定理為理論基礎，推導了單邊直圓橢圓混合柔性鉸鏈的柔度計算式。采用所得計算式對一組實例進行柔度計算，同時對其進行有限元分析，通過對比分析，驗證了計算式的正確性。借助于推得的計算式， 分析了單邊直圓橢圓混合柔性鉸鏈的各結(jié)構參數(shù)對其柔度的影響。通過與雙邊直圓橢圓混合柔性鉸鏈對比分析，得出了單邊直圓橢圓混合柔性鉸鏈的轉(zhuǎn)動能力、對載荷的敏感性均優(yōu)于雙邊直圓橢圓混合柔性鉸鏈，綜上所述，單邊混合柔性鉸鏈的提出為柔性鉸鏈在結(jié)構緊湊、大位移場合的工程應用提供了新的思路。

隨著微機電技術、宇航和生物工程等學科的快速發(fā)展，傳統(tǒng)的剛性機構已不能滿足設計與使用要 求，柔性機構以其具有體積小、無機械摩擦、無間隙、運動靈敏度高等優(yōu)點，在精密機械、機器人、計算機、自動控制、精密測量等學科領域得到了廣 泛的應用。

相對于傳統(tǒng)的剛性機構，柔性鉸鏈是柔性機構的關鍵所在，它利用彈性變形及其自回復的特性，消除了傳動過程中的空程與機械摩擦，獲得了較高的位移分辨率。目前單軸柔性鉸鏈根據(jù)其截面形狀的不同可分為：圓弧型、導角型、橢圓型、拋物 線型、雙曲線型等，其中直圓型、導角型結(jié)構簡單，獲得了廣泛應用，與導角型柔性鉸鏈比較而言，直圓型柔性鉸鏈運動范圍小、但精度高，為了綜合利用兩種鉸鏈的優(yōu)勢，文獻提出了直圓導角混合柔性鉸鏈，并采用有限元方法分析了其性能。但是，在某些柔性機構中，由于空間的限制， 希望其結(jié)構盡可能緊湊，又出現(xiàn)了單邊柔性鉸鏈，并在精密測量與精密定位領域獲得了廣泛的應用。本文在前述基礎上，兼顧混合柔性鉸鏈 與單邊柔性鉸鏈的優(yōu)點，提出一種新型柔性鉸鏈：單邊混合柔性鉸鏈，利用卡氏第二定理，導出其柔度計算式，采用有限元法對其進行驗證，并對其性能進行分析研究。

單邊直圓橢圓混和柔性鉸鏈的柔度計算

單邊直圓橢圓混和柔性鉸鏈是由半個單邊直圓鉸鏈、半個單邊橢圓鉸鏈組合而成，其結(jié)構示意圖如圖1所示。圖中R為直圓半徑、m為橢圓半長 軸、n為橢圓半短軸、l為鉸鏈的長度、t 為鉸鏈最小厚度。

柔性鉸鏈的分析是基于小變形懸臂梁假設，鉸鏈右端固定，彎曲變形是由力和彎矩產(chǎn)生的，考慮 軸向載荷的影響，而忽略剪切和扭轉(zhuǎn)的影響，受力分析如圖2所示。一般應用單軸柔性鉸鏈在二維平面內(nèi)的運動，對柔性鉸鏈左端施加載荷，如圖2所 示。通常用1點的位移來表征其柔度。

根據(jù)x-y 平面內(nèi)的運動特性，由卡式第二定理，可得柔性鉸鏈在1點的的變形量與載荷的關系為：

建立如圖1 所示坐標系，則距固定端距離為x的截面處，鉸鏈厚度h(x)的表達式為： 由厚度表達式，將式(3)代入式(2)積分計算，再代入 式(1)，可求得單邊直圓橢圓混和柔性鉸鏈的柔度。為了簡化計算，在積分計算過程中，各部分的積分變量選取如下：

柔度的實例計算及有限元驗證

實例計算

實例1. 單邊直圓橢圓混和柔性鉸鏈如圖1所示， 其幾何參數(shù)為：鉸鏈寬度b=4mm，最小厚度t = 1mm，直圓半徑R=5mm，鉸鏈長度l=10mm，橢圓 長半軸m=5mm，短半軸n分別取n=2mm-n=5mm。 材料選用鈹青銅，彈性模量E=126GPa。計算橢圓取不同短半軸時該單邊混和柔性鉸鏈的柔度大小。采用文中推導的單邊直圓橢圓混和柔性鉸鏈的柔度計算式(4)-式(7)進行求解，得到橢圓取不同短半軸所對應的柔度大小，結(jié)果列于表1。由表1中數(shù)據(jù)可知，隨著橢圓短半軸的增大，該單邊混合柔性鉸鏈的柔度降低，當n=5mm時，即成為單邊直圓柔性鉸鏈，可見單邊直圓橢圓混合柔性鉸鏈的柔度優(yōu)于單邊直圓鉸鏈。

 

表1 柔度解析式計算結(jié)果與有限元分析結(jié)果對比

短半軸	Cx-Fx /(×10-8m/N)			Cy-Fy (×10-7m/N)			Cy-Mz /(×10-4N-1)			C /(×10N)
n/mm	解析法	有限元法	誤差/(%)	解析法	有限元法	誤差/(%)	解析法	有限元法	誤差/(%)	解析法	有限元法	誤差/(%)
2	1.358	1.459	6.9	3.375	3.616	6.7	1.488	1.564	4.9	0.104	0.113	8.0
3	1.296	1.387	6.6	2.598	2.762	5.9	1.241	1.319	5.9	0.095	0.102	6.9
4	1.249	1.348	7.3	2.166	2.334	7.2	1.091	1.186	8.0	0.089	0.096	7.3
5	1.212	1.297	6.6	1.896	2.041	7.1	0.996	1.063	6.3	0.084	0.091	7.7

有限元分析

采用有限元法對上述柔度計算式進行驗證，在 Ansys 環(huán)境下，選取Shell63 單元類型(每個節(jié)點具有6個自由度)，建立該柔性鉸鏈的有限元模型如圖3所示(n=2mm)。在鉸鏈的末端施加單位載荷， 即F1x =1N, F1y =1N, M1z =1N.m，得到圖2中1點的變形，從而得到其柔度值，有限元法的分析結(jié)果列于表1。

由表1中數(shù)據(jù)可知，采用文中推得的柔度計算式計算得到的結(jié)果與有限元的分析結(jié)果之間的誤差在8%以內(nèi)，由此驗證了柔度計算式的正確性。

單邊直圓橢圓混合柔性鉸鏈的性能分析

鉸鏈結(jié)構參數(shù)對其柔度的影響

分析單邊直圓橢圓混和柔性鉸鏈的柔度計算式可知，柔性鉸鏈的柔度取決于鉸鏈的材料及其結(jié)構參數(shù)。通過柔度計算式可直接得出：所有柔度參 數(shù)都與彈性模量E和鉸鏈的寬度b成反比；其他參數(shù)：包括直圓半徑R、橢圓半長軸m、半短軸n、最小厚度t，其中取R=m，則需分析R、n、t 對柔度的影響，利用柔度與參數(shù)之間的關系函數(shù)進行分析如下：圖4-圖6分別為柔度C₁, θ -M_z隨參數(shù)(R,n)、 (t,n)、(t,R)的變化關系圖形，其他柔度項與C₁,θ -M_z 具有相同的變化趨勢。

由圖4-圖6可得出：柔度隨直圓半徑R的增加而增大，隨橢圓半短軸n的增加而降低；柔度隨最小厚度t的減小而增大，而且變化呈現(xiàn)明顯的非線性；柔度隨t的變化遠遠快于隨R、n的變化，即相對于R、n，該單邊混和柔性鉸鏈的最小厚度對其柔度的影響最顯著。

與雙邊直圓橢圓混和柔性鉸鏈的性能對比

單邊直圓橢圓混和柔性鉸鏈作為一種新型的柔性鉸鏈，為了進一步分析其性能，將其與文獻中提出的雙邊直圓橢圓混合柔性鉸鏈進行對比分析。柔度作為柔性鉸鏈一個最重要的性能指標，在結(jié)構參數(shù)相同的條件下，定義一個相對柔度比，記為C_r，則：
C_r=C_α/C_β               (8)
式中：C_α為直圓橢圓單邊混和柔性鉸鏈的柔度項； C_β為直圓橢圓雙邊混和柔性鉸鏈的柔度項。

結(jié)構參數(shù)同實例1，其柔度計算結(jié)果列于表2，同時計算出單邊、雙邊直圓橢圓混和柔性鉸鏈的相對柔度比，列于表2。

由表2中數(shù)據(jù)可看出，隨著橢圓短半軸n的增大，柔度比呈增大趨勢。由Cr,x-F_x 得出，單邊直圓橢圓混和柔性鉸鏈的轉(zhuǎn)動能力要大于對應的雙邊直圓橢圓混和柔性鉸鏈，近似是雙邊柔性鉸鏈的1.37倍；由Cr,x-F_x 、Cr, y-Fy得出，單邊混和柔性鉸鏈對載荷的影響更為敏感，對軸向載荷的敏感程度提高20%。對縱向載荷的敏感性提高了1.2倍；而且，當n=5mm時，變?yōu)閱芜呏眻A柔性鉸鏈、雙邊直圓柔性鉸鏈，可見單邊直圓柔性鉸鏈的柔度優(yōu)于雙邊直圓柔性鉸鏈。

 

表2 雙邊直圓橢圓混和柔性鉸鏈的柔度與單、雙邊直圓橢圓混和柔性鉸鏈的相對柔度比

短半軸	Cx-Fx		Cy-Fy		Cy-Mz		Cθ-Mz
n/mm	解析解/(×10-8m/N)	Cr,x-Fx	解析解/(×10-7m/N)	Cr, y-Fy	解析解/(×10-5N-1)	Cr, y-Mz	解析解/(m-1N-1)	Cr,θ -Mz
2	1.1331	1.1986	1.6238	2.0785	8.6580	1.7186	0.0771	1.3506
3	1.0652	1.2169	1.1714	2.2179	6.9573	1.7838	0.0693	1.3709
4	1.0167	1.2285	0.9445	2.2933	6.0125	1.8147	0.0645	1.3798
5	0.9799	1.2369	0.8115	2.3364	5.4113	1.8404	0.0611	1.3748

結(jié)論

(1) 以卡氏第二定理為理論基礎，推導了單邊直圓橢圓混和柔性鉸鏈的柔度計算式，采用推導結(jié)果進行了實例計算，并利用有限元方法對其進行了驗證分析。柔度計算式的計算結(jié)果與有限元分析結(jié)果之間的誤差小于8%，從而驗證了柔度計算式的有效性。

(2) 借助于推導的柔度計算式，分析了柔性鉸鏈結(jié)構參數(shù)對柔度的影響，得出鉸鏈柔度對其最小厚度的變化最為敏感。

(3) 定義相對柔度比，以此對單邊直圓橢圓混和柔性鉸鏈與雙邊直圓橢圓混和柔性鉸鏈的性能進行對比分析，得出單邊混合柔性鉸鏈具有更大的轉(zhuǎn)動能力，而且對載荷的影響更為敏感。

綜上所述，單邊混和柔性鉸鏈作為一種新型的柔性鉸鏈為柔性鉸鏈在結(jié)構緊湊、大位移場合的工程應用提供了新的思路。