柔性鉸鏈利用了金屬微小彈性變形和回復特性， 是一種微定位的高分辨率傳動機構。由于是一體化 加工成型，所以具有無機械摩擦、無配合空程、無需潤 滑、運動靈敏度高等特點，廣泛應用于各類微調裝 置、精密定位平臺、光刻技術和掃描探測顯微鏡 等。

對柔性鉸鏈工作性能產生影響的因素是多方面 的，設計柔性鉸鏈時會有一些前提假設，如假設僅在 鉸鏈處產生彈性變形，其余部分視作剛體；在工作時 假設只產生轉角變形，無伸縮和其他變形。而鉸鏈本 身存在一些固有缺陷，比如轉動中心不固定、應力集 中、應力大小隨關節(jié)位置變化、環(huán)境對材料的影響 等。在結構設計中往往是幾個鉸鏈和連桿 之間相互組合，組合之間的加工誤差都會帶來轉角和 直線的耦合位移，這些都會導致其運動偏離理想軌 跡。有文獻綜合性的對柔性鉸鏈 機構誤差源進行分析，對材料性能、尺寸設計、振動干 擾、加工誤差等方面進行探討。文獻給出了單平 行四邊形位移結構的旋轉耦合公式。文獻用多 變量泰勒級數把理想剛度公式展開，定性的分析每個 變量誤差對柔性鉸鏈的敏感性。文獻用有限元方法對位移機構進行仿真，得到柔性鉸 鏈制造誤差引起的機構位移耦合，但是都只針對一種 機構，所得結果有局限性。

本文中我們針對直圓柔性鉸鏈形成的梁構件，分 析直圓柔性鉸鏈的３種加工誤差，推導存在誤差時的 剛度計算公式，利用數值積分和多項式擬合方法，得 到在不同鉸鏈參數ｔ／Ｒ 下的無量綱剛度誤差公式，并 用有限元方法（ＦＥＡ）進行比較和驗證。為鉸鏈的參 數設計和加工提供參考。

１　柔性鉸鏈加工誤差建模和分析

理想柔性鉸鏈的幾何結構與如圖１所示，在轉矩 Ｍ 作用下中間薄弱部分可產生彈性角變形，繞Ｚ 軸 旋轉產生運動。主要尺寸參數有寬度ｂ，半徑Ｒ，最小 厚度ｔ，高度ｈ，對于直圓柔性鉸鏈，ｈ＝２Ｒ＋ｔ。 根據材料力學中的撓曲 線方程可得近似公式

式中，α 是轉角；Ｍ 是轉矩；Ｅ 是材料彈性模量；Ｉ 是鉸鏈截面對ｚ 軸的慣性矩。取出如圖２的微元進行積分，可得鉸鏈轉角公式為：

對于直圓柔性鉸鏈，取ｍ＝ｔ／Ｒ，θ＝π／２，積分可得轉動剛度Ｋ 為：

本文針對鉸鏈幾何結構的３種加工誤差進行分析，即切口圓?。?方向定位誤差、切口圓弧ｘ 方向定位誤差和切口圓弧軸心線的垂直度誤差。

１．１　切口圓?。?方向定位誤差

柔性鉸鏈的厚度ｔ是一個重要的參數，切口圓弧ｙ 方向的定位誤差ｄ１如圖３所示，它直接影響厚度ｔ的大小。在誤差ｄ１的影響下

將式（４）代入式（５），令ｍ＝ｔ/Ｒ，ｄ１＝ｐｔ，結合式（１）、式（５）、式（６）可得關于加工誤差系數ｐ 的轉動剛度為

由式（２）可得理想柔性鉸鏈剛度積分公式為

結合式（７）、式（８）得到剛度誤差為

為了更具有普遍性，這里采用了無量綱參數ｐ＝ｄ１/ｔ，對ｐ＝（－０．３，０．３）范圍內的誤差β１進行數值積分，并進行六階多項式擬合，得到柔性鉸鏈關于無量綱誤差系數ｐ 的剛度誤差β１（ｐ）為

多項式系數Ｃｉ隨ｍ 大小而改變，Ｃｉ的取值見表２。

１．２　切口圓?。?方向定位誤差

理想鉸鏈的上下切口圓弧是嚴格對稱的，采用鉆孔或者電火花切割加工時，切口圓弧中心ｘ 方向定位誤差ｄ２如圖４所示，由圖可知

把式（６）、式（１１）、式（１２）帶入式（１），令ｍ＝ｔ/Ｒ，ｄ２＝ｐｔ，得到關于加工誤差系數ｐ 的轉動剛度Ｋ２，結

合式（８）可求得剛度誤差β２。對ｐ＝（０，０．３）范圍內的誤差β２進行數值積分和多項式擬合，得到鉸鏈不同ｍ 參數下誤差系數ｐ 造成的剛度誤差為

 

β２＝Ｃ１ｐ１＋Ｃ２ｐ２＋Ｃ３ｐ３＋Ｃ４ｐ４＋Ｃ５ｐ５＋Ｃ６ｐ６ （１３）

１．３　切口圓弧軸心垂直度誤差

在加工柔性鉸鏈時，切口圓弧軸心線的偏離情況較為復雜，主要有兩種情況，一種是兩圓弧的軸心線互相平行，具有共同的垂直度誤差φ，在具體的微位移機構中，這會導致不對稱的應力狀態(tài)，可能引入機構位移耦合誤差。第二種是兩圓弧軸心線不平行，從而導致鉸鏈截面發(fā)生變化。我們考慮第二種情況，當軸心線左右偏離時所得截面和上文１．２節(jié)所述類似，而當其中一條軸心線前后偏離時的誤差ｄ３如圖５所示，取出圖５中間鉸鏈截面，如圖６所示。
ａ３＝ｔ＋２Ｒ－２Ｒｃｏｓθ （１４）
截面對Ｚ 的轉矩為

令ｍ＝ｔ/Ｒ，ｄ３＝ｐｔ，將式（１４）、式（１５）、式（６）代入式（１）可得轉動剛度

其中，Ｚ ＝ｍ＋２－２ｃｏｓθ。結合式（８）得到剛度誤差

對ｐ＝（－０．３，０．３）范圍內的誤差β３進行數值積分和曲線擬合，得到不同ｍ 參數值下，軸心線垂直度誤差系數ｐ 引起的剛度誤差β３（ｐ）為

２　有限元軟件誤差分析

ＡＮＳＹＳ軟件作為一個功能強大、靈活的設計分析及優(yōu)化軟件包，可對多種物理場進行分析計算，應用ＡＮＳＹＳ的靜力分析功能，可以分析結構在固定載荷作用下的響應，求解載荷引起的變形和應力。其靜力分析控制方程為

｛Ｋ｝｛Ｕ｝＝｛Ｆ｝ （１８）

式中，｛Ｋ｝表示結構剛度矩陣；｛Ｕ｝表示位移向量；｛Ｆ｝表示力向量。

建立如圖７所示懸臂梁結構模型，對模型進行單元劃分如圖８所示。利用ＡＮＳＹＳ的ｗｏｒｋｂｅｎｃｈ模塊，可以對模型的尺寸進行參數化設計，得到各個參數組成的設計點，修改誤差參數的大小，可以方便的得各個不同設計點。對這些設計點進行仿真計算，從而得到剛度誤差。

有限元模型的邊界條件對仿真結果有明顯的影響，比如，在一個節(jié)點上施加集中力載荷，就會在相應處產生局部應力突變，從而降低仿真的準確性，此外，根據文獻所述，鉸鏈的形變效應不僅僅局限在鉸鏈區(qū)域，還會對鉸鏈以外的區(qū)域產生影響（圖７的Ａ區(qū)域），Ａ 區(qū)域會和鉸鏈區(qū)相互作用，產生一些特殊形變，但這些形變對結果會有何種影響，還有待研究。因此，考慮到以上因素，對構件左端一定距離處采取固定約束，在另一端較遠處施加Ｍ ＝０．０１Ｎ·ｍ 的力矩，求解后得到中間Ｐ１點豎直方向即ｙ 方向的位移值，根據ΔｙＭ ＝Ｒｓｉｎ（θｍａｘ）（αＭ）［１］２０３－２２０進而得到轉動剛度。表１是建模時的參數。

３　數值分析和有限元分析結果的比較

對于上文分析的３種剛度誤差，即切口圓弧方向定位誤差、切口圓弧方向定位誤差和切口圓弧軸心線垂直度誤差引起的剛度誤差β１、β２和β３，分別比較數值計算結果和有限元分析結果，用Ｍａｔｌａｂ繪制圖形，得到不同鉸鏈參數值ｍ 下的誤差曲線如圖９～圖１１所示，其中ＮＡ為數值分析結果，ＦＥＡ為有限元分析結果。

結合計算結果和圖９可知，ＮＡ 和ＦＥＡ 的誤差曲線較為吻合，鉸鏈參數ｍ 對誤差β１幾乎沒有影響，但是誤差系數ｄ１／ｔ對剛度的影響較大，?。恚剑埃?，當誤差系數ｄ１／ｔ為０．３時，ＮＡ和ＦＥＡ的剛度誤差分別可達９３．４４％和８２．５％。

由圖１０可知，誤差系數ｄ２／ｔ一定時，誤差β２隨ｍ 增大而變大，?。洌玻魹椋埃叮敚恚剑埃睍r，ＮＡ 的誤差是２．５３％，ＦＥＡ的誤差是４．５９％；而當ｍ＝０．８時，ＮＡ的誤差是３４．９４％；ＦＥＡ的誤差是２９．６１％。

鉸鏈參數ｍ 對剛度誤差β３也不敏感，但誤差參數ｄ３／ｔ的影響較大，如圖１１所示，取ｍ＝０．１，當ｄ３／ｔ＝０．３時，ＮＡ 的誤差是５９．１１％，ＦＥＡ 的誤差是４１．４４％；當ｄ３／ｔ＝ －０．３ 時，ＮＡ 的誤差是－２１．５３％，ＦＥＡ的誤差是－２７．６３％。同時注意到，在數值計算時，假設圖６所示鉸鏈截面兩端的轉角是一致的，而實際上當施加一定載荷時，截面兩端的轉角并不一致而具有一定的扭轉，這也造成了ＮＡ 和ＦＥＡ計算結果的偏差。

４　結論

直圓柔性鉸鏈的加工誤差對剛度性能有直接影響，本文中我們針對３種切口圓弧的加工誤差，推導存在誤差時的轉動剛度，并擬合出無量綱的剛度誤差公式。從公式計算結果和有限元分析的結果來看，兩者的誤差曲線有較好的一致性，驗證了所得公式的正確性。為了減小切口圓?。?方向定位誤差的影響，ｍ的取值即ｔ／Ｒ 的取值可適當減小，而切口圓?。?方向的定位誤差和軸心線的垂直度誤差，應該要嚴格控制。此外，由式（７）、式（１２）、式（１５）可知鉸鏈寬度ｂ跟絕對誤差是成正比的，但是與相對誤差無關。