摘要：大行程柔性鉸鏈Ｈｅｘａｐｏｄ機(jī)構(gòu)的性能很大程度上取決于柔性鉸鏈的性能。同樣構(gòu)型的柔性鉸鏈，行程越大其離軸剛度越低，從而導(dǎo)致大行程全柔性鉸鏈Ｈｅｘａｐｏｄ機(jī)構(gòu)整體的靜剛度和精度下降。討論了Ｈｅｘａｐｏｄ機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解的求解，包括每個(gè)支鏈的伸縮的長(zhǎng)度以及每個(gè)鉸鏈的轉(zhuǎn)動(dòng)角度的求解。在此基礎(chǔ)上討論了大行程全柔性鉸鏈Ｈｅｘａｐｏｄ機(jī)構(gòu)參數(shù)優(yōu)化設(shè)計(jì)，使得滿(mǎn)足動(dòng)平臺(tái)運(yùn)動(dòng)空間要求的前提下各個(gè)鉸鏈的行程要求最小，并針對(duì)設(shè)計(jì)中的大行程柔性鉸鏈Ｈｅｘａｐｏｄ機(jī)構(gòu)進(jìn)行了參數(shù)優(yōu)化設(shè)計(jì)。

引言

光學(xué)系統(tǒng)在光學(xué)顯微鏡、半導(dǎo)體生產(chǎn)和空間探測(cè)等超精密工程領(lǐng)域中得到了廣泛的應(yīng)用［１］。為了保證光路的準(zhǔn)確性，光學(xué)元器件不但需要有很高的面形精度，而且需要精密的定位系統(tǒng)。以大口徑空間望遠(yuǎn)鏡的子鏡拼接為例，在戈達(dá)德太空飛行中心研制的太空球面光學(xué)望遠(yuǎn)鏡主鏡［２］（ＳＰＯＴ）直徑３．５ｍ，由６個(gè)對(duì)角線長(zhǎng)０．８６ｍ的六角形子鏡環(huán)狀排列組成，中心無(wú)鏡面。每個(gè)子鏡都有傾斜、翻轉(zhuǎn)和移動(dòng)的自由度，ＳＰＯＴ對(duì)每個(gè)子鏡的定位精度提出了很高的要求：鏡面法向移動(dòng)范圍目標(biāo)值±５ｍｍ、最小值±１ｍｍ，鏡面法向移動(dòng)分辨率目標(biāo)值＜１０ｎｍ、最低值２０ｎｍ。鏡面翻轉(zhuǎn)范圍±２°，鏡面翻轉(zhuǎn)分辨率≤０．０５ａｒｃｓｅｃ。

傳統(tǒng)的光學(xué)元器件精密定位并聯(lián)機(jī)器人使用的是球鉸、萬(wàn)向鉸鏈等傳統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)副作為活動(dòng)關(guān)節(jié)，會(huì)引入摩擦、回程間隙和爬行等問(wèn)題極大地影響并聯(lián)機(jī)器人的精度。為了克服使用傳統(tǒng)運(yùn)動(dòng)副引起的上述問(wèn)題、減小并聯(lián)機(jī)構(gòu)的精度損失，柔性鉸鏈被用來(lái)作為新型并聯(lián)機(jī)器人［３－５］的運(yùn)動(dòng)副。柔性鉸鏈具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、無(wú)摩擦和精度高等優(yōu)點(diǎn)，能夠使系統(tǒng)得到很高的精度和分辨率。然而，由于柔性鉸鏈的變形量有限，傳統(tǒng)的全柔性鉸鏈的并聯(lián)機(jī)器人的工作空間都很小，多在立方微米級(jí)。在一些需要較大行程的應(yīng)用中往往需要兩級(jí)運(yùn)動(dòng)機(jī)構(gòu)的疊加，其中一級(jí)提供較大范圍的運(yùn)動(dòng)，另一級(jí)為微位移的柔性并聯(lián)機(jī)構(gòu)。這樣的結(jié)構(gòu)增加了系統(tǒng)的復(fù)雜性，提高了系統(tǒng)成本。為了使得柔性鉸鏈并聯(lián)機(jī)器人能夠在立方厘米級(jí)的工作空間得到應(yīng)用，近年來(lái)又開(kāi)發(fā)了大行程的柔性并聯(lián)機(jī)器人，如Ｋａｎｇ?。牡热耍郏保菀怨鈱W(xué)精密定位為背景研制了一種新型的大行程柔性鉸鏈并聯(lián)機(jī)器人，該六自由度的機(jī)器人工作空間±２ｍｍ＊±２ｍｍ＊±２ｍｍ＊±２°＊±２°＊±２°，移動(dòng)分辨率達(dá)到１５ｎｍ，轉(zhuǎn)動(dòng)分辨率為０．１４ａｒｃｓｅｃ。Ｔａｎｇ等人［６］設(shè)計(jì)并測(cè)試了具有ＸＹＺ３個(gè)自由度的柔性并聯(lián)機(jī)器人，３個(gè)方向的運(yùn)動(dòng)相互解耦，行程達(dá)到２．３ｍｍ。經(jīng)過(guò)測(cè)試，其橫軸誤差小于１．９％，移動(dòng)引起轉(zhuǎn)角小于１．５ｍｒａｄ。

以光學(xué)元器件的精密定位為應(yīng)用背景，研究大行程柔性鉸鏈Ｈｅｘａｐｏｄ機(jī)構(gòu)參數(shù)優(yōu)化設(shè)計(jì)方法。柔性鉸鏈的性能很大程度上決定了大行程柔性鉸鏈Ｈｅｘａｐｏｄ機(jī)構(gòu)的性能。同樣構(gòu)型的柔性鉸鏈，行程越大其離軸剛度越低，從而導(dǎo)致大行程全柔性鉸鏈Ｈｅｘａｐｏｄ機(jī)構(gòu)整體的靜剛度和精度下降。以滿(mǎn)足動(dòng)平臺(tái)工作空間要求前提下柔性鉸鏈的變形量最小為優(yōu)化目標(biāo)，優(yōu)化設(shè)計(jì)大行程全柔性鉸鏈Ｈｅｘａｐｏｄ機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)參數(shù)。

１　運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解

１．１　參數(shù)設(shè)定

為了簡(jiǎn)化研究，建立柔性鉸鏈Ｈｅｘａｐｏｄ機(jī)構(gòu)的偽剛體模型。將支桿與動(dòng)平臺(tái)之間的柔性鉸鏈假設(shè)為帶轉(zhuǎn)動(dòng)剛度的球鉸，支桿與動(dòng)平臺(tái)之間的柔性鉸鏈假設(shè)為帶轉(zhuǎn)動(dòng)剛度的萬(wàn)向鉸，移動(dòng)關(guān)節(jié)包括直線致動(dòng)器與柔性直線導(dǎo)向機(jī)構(gòu)。簡(jiǎn)化Ｈｅｘａｐｏｄ機(jī)構(gòu)如圖１所示。上方的平臺(tái)為動(dòng)平臺(tái)，下方的平臺(tái)為定平臺(tái)。為了方便分析，按圖１所示建立定平臺(tái)上的坐標(biāo)系Ａ（Ｘ，Ｙ，Ｚ）、動(dòng)平臺(tái)上的坐標(biāo)系Ｂ（Ｕ，Ｖ，Ｗ）及分別對(duì)各支鏈ｉ建立用ＤＨ方法建立坐標(biāo)系（ｒｉ－ｊ，ｓｉ－ｊ，ｔｉ－ｊ），其中，ｊ＝０，１，２…６。坐標(biāo)系（ｒｉ－０，ｓｉ－０，ｔｉ－０）與坐標(biāo)系（ｒｉ－６，ｓｉ－６，ｔｉ－６）分別與坐標(biāo)系Ａ，Ｂ相對(duì)固定，ｔｉ－０方向?yàn)槌跏紶顟B(tài)下ｒｉ－０與Ｚ軸叉乘乘積方向：ｔｉ－０＝ｒｉ－０×ｚ‖ｒｉ－０×ｚ‖（１）支鏈ｉ的ＤＨ參數(shù)如表１所示。　

?。鞛檫B桿兩端關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)副軸線之間的公垂線長(zhǎng)度；α為連桿兩端的關(guān)節(jié)軸線在該連桿長(zhǎng)度的法平面內(nèi)投影的夾角；ｄ為相鄰連桿的距離；θ為相鄰連桿的夾角。初始狀態(tài)時(shí)各關(guān)節(jié)參數(shù)為［０°，－９０°，ｄｉ０，－９０°，－９０°，０°］，ｄｉ０為初始狀態(tài)的支鏈長(zhǎng)度。代入ＤＨ矩陣的計(jì)算公式，分別計(jì)算得到各連桿的齊次變換矩陣ｋＡｉｌ（支鏈ｉ中ｌ坐標(biāo)系在ｋ坐標(biāo)系中的表示）。

１．２　求解柔性鉸鏈轉(zhuǎn)角

求解關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角的過(guò)程類(lèi)似于六自由度的串聯(lián)型機(jī)械臂求逆解的過(guò)程。將ｋＡｉｌ中的旋轉(zhuǎn)陣用ｋＲｉｌ表示，ＡＡＢ表示動(dòng)平臺(tái)相對(duì)于定平臺(tái)的齊次變換矩陣。ｉ支鏈桿長(zhǎng)方向與ｔｉ－２方向相同：

考慮到θｉ－２的初始位置姿態(tài)值為－９０°且柔性機(jī)器人關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角均較小。因此，有－π≤θｉ－２≤０。可以求得：

與動(dòng)平臺(tái)相對(duì)固定的向量ｔｉ－６在坐標(biāo)系Ｂ中表示為Ｂｔｉ－６，下式中Ｂｉ０表示初始位置姿態(tài)時(shí)點(diǎn)Ｂｉ在Ａ坐標(biāo)系的坐標(biāo)。

可以用上面的結(jié)果表示支鏈ｉ整體的旋轉(zhuǎn)矩陣ＡＲｉ６＝［ｒｉ－６，ｓｉ－６，ｔｉ－６］。


由上式可以得到
Ｒｉ０＝［ｒｉ－０，ｓｉ－０，ｔｉ－０］，
即可求得６?。遥椋?。
同時(shí)也由各個(gè)關(guān)節(jié)的旋轉(zhuǎn)矩陣計(jì)算支鏈ｉ整體的旋轉(zhuǎn)矩陣為：
０Ｒｉ６＝０Ｒｉ１１　Ｒｉ２２?。遥椋常场。遥椋矗础。遥椋担怠。遥椋叮ǎ梗埃遥椋部捎?theta;ｉ－１，θｉ－２求得。將已知的旋轉(zhuǎn)陣移至上述等式的左側(cè)得：２?。遥椋裕常埃遥椋裕玻埃遥椋叮剑场。遥椋矗础。遥椋担怠。遥椋叮ǎ保埃┥鲜阶髠?cè)所有的矩陣均已知，將左邊矩陣相乘的結(jié)果表示為２?。遥椋裕常埃遥椋裕玻埃遥椋叮剑郏颍?，ｓｉ，ｔｉ］。右側(cè)矩陣相乘得到３　Ｒｉ４４?。遥椋担怠。遥椋丁２捎门c之前求解θｉ－１，θｉ－２同樣的方法求解θｉ－４，θｉ－５，結(jié)果如下：

求解時(shí)考慮到θｉ－５的初始位置姿態(tài)值為－９０°，柔性機(jī)器人關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角均較小，?。?pi;≤θｉ－５≤０。至此，支鏈ｉ的各關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)量均已求得，可以得到相對(duì)于初始位置各關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)動(dòng)的角度或移動(dòng)量為：

２?。龋澹幔穑铮鋮?shù)優(yōu)化

２．１　設(shè)計(jì)參數(shù)與要求為了方便探討，選取初始位置下對(duì)稱(chēng)的Ｈｅｘａｐｏｄ類(lèi)型，Ｈｅｘａｐｏｄ機(jī)構(gòu)的俯視圖及參數(shù)定義如圖２所示，

圖中的坐標(biāo)系為定平臺(tái)的坐標(biāo)系Ａ（ｘ，ｙ，ｚ）。定義定平臺(tái)上所有Ａｉ所在的圓的半徑為Ｒ，動(dòng)平臺(tái)上所有Ｂｉ所在圓的半徑為ｒ，Ａ１與中心點(diǎn)Ｏ連線與Ｙ軸的夾角為α，Ｂ５與中心點(diǎn)Ｏ連線與Ｙ軸的夾角為β，初始狀態(tài)下動(dòng)平臺(tái)與定平臺(tái)的距離為ｈ。Ａｉ，Ｂｉ在坐標(biāo)系Ａ中的坐標(biāo)分別是：Ａｉ＝（Ｒｃｏｓαｉ，Ｒｓｉｎαｉ，０）；Ｂｉ０＝（ｒｃｏｓβｉ，ｒｓｉｎβｉ，ｈ）Ｂｉ０為初始位置姿態(tài)時(shí)Ｂｉ點(diǎn)在Ａ坐標(biāo)系的坐標(biāo)。具體的αｉ，βｉ，分別用α，β表示為：設(shè)計(jì)時(shí)考慮到相鄰的Ａｉ及相鄰的Ｂｉ不會(huì)重復(fù)或者交叉，限定１０°≤α≤５０°，１０°≤β≤５０°?？紤]到實(shí)際的應(yīng)用背景和結(jié)構(gòu)的緊湊性，限定與動(dòng)平臺(tái)相連的柔性球鉸中心所在圓的半徑１００ｍｍ≤ｒ≤２００ｍｍ，與定平臺(tái)相連的柔性萬(wàn)向鉸中心所在圓的半徑１５０ｍｍ≤Ｒ≤２５０ｍｍ，初始狀態(tài)下定平臺(tái)與動(dòng)平臺(tái)之間的高度１５０ｍｍ≤ｈ≤２５０ｍｍ。后面的優(yōu)化設(shè)計(jì)將在上述的范圍內(nèi)對(duì)參數(shù)Ｒ，ｒ，ｈ，α，β優(yōu)化設(shè)計(jì)，以獲取在滿(mǎn)足工作空間要求情況下使得所有柔性鉸鏈的變形范圍中的最大值最小的一組參數(shù)。Ｈｅｘａｐｏｄ動(dòng)平臺(tái)沿Ｘ，Ｙ，Ｚ軸移動(dòng)的范圍均為±５ｍｍ，繞Ｘ，Ｙ軸旋轉(zhuǎn)的角度范圍為±２°，繞Ｚ軸旋轉(zhuǎn)范圍不作要求。

２．２　平臺(tái)參數(shù)優(yōu)化計(jì)算

設(shè)計(jì)時(shí)取初始條件下各柔性鉸鏈的變形值為零，根據(jù)要求的工作空間得到動(dòng)平臺(tái)的位置與姿態(tài)六維向量ｘｐ＝［ｐｘ，ｐｙ，ｐｚ］的取值范圍。對(duì)于給定的任意平臺(tái)參數(shù)，使動(dòng)平臺(tái)在某一個(gè)軸向移動(dòng)或轉(zhuǎn)動(dòng)到極限位置。按照第１節(jié)推導(dǎo)的表達(dá)式計(jì)算柔性鉸鏈的轉(zhuǎn)角，從中計(jì)算得每個(gè)支鏈的５個(gè)角度逆解，即３０個(gè)角度逆解值中的最大絕對(duì)值與最大移動(dòng)絕對(duì)值加權(quán)求和。依次求取每個(gè)軸向２個(gè)極限位置即１０個(gè)極限位置（繞Ｚ軸的旋轉(zhuǎn)由于光學(xué)鏡面的定位中沒(méi)有要求故不予考慮，每個(gè)軸移動(dòng)或轉(zhuǎn)動(dòng)方向分別取正負(fù)最大值）的加權(quán)和，選擇其中最大的作為此平臺(tái)參數(shù)下需要的柔性鉸鏈變形量的表征，選擇使得該加權(quán)和最小的平臺(tái)參數(shù)，即為最優(yōu)化的平臺(tái)參數(shù)。

編寫(xiě)Ｍａｔｌａｂ程序?qū)で笞顑?yōu)化的Ｈｅｘａｐｏｄ機(jī)構(gòu)參數(shù)基本的編程思路如下。

ａ．編寫(xiě)求運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解的函數(shù)ｉｎｖｅｒｓｅＫｉｎｅｍａｔｉｃｓ。函數(shù)的輸入為平臺(tái)參數(shù)（ｒ，Ｒ，ｈ，α，β）及動(dòng)平臺(tái)的位置與姿態(tài)六維向量ｘｐ＝［ｐｘ，ｐｙ，ｐｚ］，輸出為所有６個(gè)支鏈每個(gè)支鏈５個(gè)轉(zhuǎn)角逆解一個(gè)移動(dòng)逆解，為６×６矩陣。

ｂ．編寫(xiě)求柔性鉸鏈最大轉(zhuǎn)角絕對(duì)與最大移動(dòng)絕對(duì)值的函數(shù)ｆｉｎｄＭａｘＤｉｓｐｌａｃｅｍｅｎｔ。函數(shù)的輸入為平臺(tái)參數(shù)（ｒ，Ｒ，ｈ，α，β）及動(dòng)平臺(tái)的位置與姿態(tài)六維向量ｘｐ＝［ｐｘ，ｐｙ，ｐｚ］，函數(shù)的輸出為對(duì)應(yīng)于該平臺(tái)參數(shù)及位姿條件的３０個(gè)柔性鉸鏈變形值中的最大絕對(duì)值及６個(gè)直線導(dǎo)向的柔性鉸鏈的變形值中的最大絕對(duì)值組成的向量。

ｃ．編寫(xiě)滿(mǎn)足工作空間要求的柔性鉸鏈最大加權(quán)和計(jì)算函數(shù)ｍａｘＤｉｓｐｌａｃｅｍｅｎｔ。函數(shù)的輸入為平臺(tái)參數(shù)（ｒ，Ｒ，ｈ，α，β），函數(shù)的輸出為最大轉(zhuǎn)角絕對(duì)值與最大移動(dòng)絕對(duì)值加權(quán)和。利用函數(shù)ｆｉｎｄＭａｘＤｉｓｐｌａｃｅｍｅｎｔ求取各軸向極限位置時(shí)的柔性鉸鏈最大轉(zhuǎn)動(dòng)值，從得到的１０個(gè)值中選取最大值作為輸出。

ｄ．將問(wèn)題變?yōu)樽顑?yōu)化問(wèn)題。目標(biāo)函數(shù)ｍｉｎｍａｘＤｉｓｐｌａｃｅｍｅｎｔ（ｒ，Ｒ，ｈ，α，β）限制條件為：１０°≤α≤５０°
１０°≤β≤５０°
１００ｍｍ≤ｒ≤２００ｍｍ
１５０ｍｍ≤Ｒ≤２５０ｍｍ
１５０ｍｍ≤ｈ≤２５０ｍｍ

用Ｍａｔｌａｂ工具箱中的最優(yōu)化函數(shù)ｆｍｉｎｃｏｎ尋找限定條件下的最優(yōu)化解，將算法設(shè)置為“ｉｎｔｅｒｉｏｒｐｏｉｎｔ”。設(shè)置不同的權(quán)重，得到局部最優(yōu)解的情況如表２所示。

從表２中可以看出，按照優(yōu)化時(shí)對(duì)最大轉(zhuǎn)角絕對(duì)值和最大移動(dòng)絕對(duì)值分配權(quán)重的不同可以將Ｓｔｅｗａｒｔ平臺(tái)的設(shè)計(jì)參數(shù)分為３類(lèi)：第１類(lèi)使得轉(zhuǎn)動(dòng)導(dǎo)向的柔性鉸鏈需求的運(yùn)動(dòng)范圍最?。坏冢差?lèi)使得直線導(dǎo)向的柔性鉸鏈需求的運(yùn)動(dòng)范圍最??；第３類(lèi)綜合最優(yōu)，使得整個(gè)平臺(tái)柔性教練的轉(zhuǎn)動(dòng)角度和伸縮量都取得比較小的數(shù)值，但均不是最小值。設(shè)計(jì)時(shí)可以按照綜合最優(yōu)選取平臺(tái)參數(shù)，也可以按照某種鉸鏈的運(yùn)動(dòng)范圍要求最小進(jìn)行設(shè)計(jì)。

３　結(jié)束語(yǔ)

以柔性鉸鏈的要求變形值最小為優(yōu)化目標(biāo)，在滿(mǎn)足大行程柔性Ｈｅｘａｐｏｄ機(jī)構(gòu)工作空間要求的前提下進(jìn)行Ｈｅｘａｐｏｄ機(jī)構(gòu)參數(shù)的優(yōu)化設(shè)計(jì)。建立了大行程柔性Ｈｅｘａｐｏｄ的偽剛體模型的各支鏈坐標(biāo)系，求取了各支鏈各關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解的解析表達(dá)式，并以此為基礎(chǔ)進(jìn)行了Ｈｅｘａｐｏｄ機(jī)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)。從最后優(yōu)化設(shè)計(jì)實(shí)例的計(jì)算中可以看出，實(shí)際設(shè)計(jì)時(shí)，可以以某種柔性鉸鏈的變形量要求最小或兩種變形的加權(quán)和最小為設(shè)計(jì)目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)Ｈｅｘａｐｏｄ機(jī)構(gòu)的參數(shù)，也可以根據(jù)設(shè)計(jì)完成的兩種柔性鉸鏈能夠滿(mǎn)足整體的行程范圍要求，調(diào)整各自的權(quán)值使其滿(mǎn)足要求從而進(jìn)行Ｓｔｅｗａｒｔ平臺(tái)的參數(shù)配置。

大行程柔性鉸鏈Hexapod機(jī)構(gòu)參數(shù)優(yōu)化設(shè)計(jì).pdf 文檔下載