1、引言

隨著機(jī)床技術(shù)的發(fā)展，并聯(lián)機(jī)床在航空航天和汽車工業(yè)等領(lǐng)域得到了不斷的應(yīng)用。但是，與傳統(tǒng)的串聯(lián)機(jī)床相比，并聯(lián)機(jī)床仍存在很多問(wèn)題。由于受鉸鏈約束、桿長(zhǎng)約束、支鏈干涉、奇異位形等因素影響，其有效工作空間受到很大限制，動(dòng)平臺(tái)的活動(dòng)空間不 大，最大傾角通常在30°左右。這是影響其應(yīng)用的一個(gè)重要原因。因此，在機(jī)床尺寸參數(shù)確定的情況下，鉸鏈約束就成了限制其工作空間的關(guān)鍵因素。 球鉸鏈分為普通球鉸鏈和復(fù)合球鉸鏈兩種。復(fù)合球鉸鏈具有運(yùn)動(dòng)范圍大、間隙小、抗拉強(qiáng)度大、易保 證加工精度等優(yōu)點(diǎn)。但復(fù)合球鉸鏈的體積大，結(jié)構(gòu)復(fù)雜、慣性大，當(dāng)并聯(lián)機(jī)床的體積重量較小時(shí)，普通球鉸鏈仍是球鉸鏈的不二之選。 目前，關(guān)于鉸鏈座法線方向的選擇，通常采用的方法是：“當(dāng)桿長(zhǎng)為0.5(Lmax+Lmin)，且上下平臺(tái)上的坐標(biāo)互相平行時(shí)，第i根桿的向量”作為鉸鏈座法線。這種方法只是一種粗略的設(shè)計(jì)方法，在一定程度上可以減小最大轉(zhuǎn)角，但得到的鉸鏈座法線并不 是最優(yōu)的鉸鏈座法線，還有進(jìn)一步優(yōu)化的空間。關(guān)于球鉸座法線方向的最優(yōu)化設(shè)計(jì)還沒(méi)有人進(jìn)行過(guò)研究。趙云峰等[4]對(duì)3-UPS/S 并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行了基于給定 工作空間的尺寸參數(shù)優(yōu)化，但沒(méi)有考慮優(yōu)化鉸鏈最大轉(zhuǎn)角的問(wèn)題。馬運(yùn)忠和張立杰等也都對(duì)球鉸鏈進(jìn) 行了相關(guān)的研究，但其研究都是針對(duì)復(fù)合球鉸鏈而展開的。基于優(yōu)化球鉸鏈最大轉(zhuǎn)角進(jìn)行的機(jī)構(gòu)參數(shù)的優(yōu)化還很少有人涉及。 下面研究的球鉸鏈?zhǔn)腔诒本┖娇蘸教齑髮W(xué)為某研究所研制的3-UPS/S 并聯(lián)轉(zhuǎn)臺(tái)展開的。

2、 無(wú)量綱化模型及鉸鏈法線優(yōu)化

2.1 球鉸鏈和并聯(lián)轉(zhuǎn)臺(tái)介紹

普通球鉸鏈（以下簡(jiǎn)稱球鉸鏈）由球頭和球窩構(gòu)成，球頭在球窩內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，有三個(gè)方向的轉(zhuǎn)動(dòng)自由度（圖 1）。球鉸鏈的轉(zhuǎn)角用球鉸鏈座的法線n 和與球頭連接的支鏈向量l的夾角α 來(lái)表示。球鉸鏈最大轉(zhuǎn)角αmax 的大小受球鉸鏈座法線方向n 的影響，同時(shí)也受并聯(lián) 機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)參數(shù)和位姿參數(shù)的影響。

3-UPS/S 并聯(lián)轉(zhuǎn)臺(tái)（圖2）由靜平臺(tái)、動(dòng)平臺(tái)、 支鏈和立柱構(gòu)成。其中3-UPS/S 的含義：3 是支鏈數(shù) 量；U 代表虎克鉸；P代表移動(dòng)副；S 代表球副。動(dòng)平臺(tái)通過(guò)4 個(gè)球鉸鏈P1,P2,P3,OP 與支鏈和立柱連接； 靜平臺(tái)通過(guò)3 個(gè)虎克鉸B1,B2,B3與支鏈相連，與中央立柱L固結(jié)；3 根支鏈內(nèi)為移動(dòng)副。轉(zhuǎn)臺(tái)動(dòng)平臺(tái)有進(jìn)動(dòng)和章動(dòng)兩個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度，運(yùn)動(dòng)空間用ZXZ 歐拉角描述為：進(jìn)動(dòng)角ψ=±360°，章動(dòng)角θ=54.07°，自旋角φ=γP-ψ。其中：γP為定值，定義為初始角度。并聯(lián) 轉(zhuǎn)臺(tái)的大運(yùn)動(dòng)空間要求球鉸鏈必須有大的偏轉(zhuǎn)角，但過(guò)大的偏轉(zhuǎn)角必然導(dǎo)致鉸鏈的結(jié)構(gòu)強(qiáng)度降低。所以， 優(yōu)化并聯(lián)轉(zhuǎn)臺(tái)的結(jié)構(gòu)參數(shù)、位姿參數(shù)和鉸鏈座的法線方向就顯得非常重要。

2.2 轉(zhuǎn)臺(tái)球鉸鏈的數(shù)學(xué)模型

在動(dòng)平臺(tái)P1P2P3 上建立動(dòng)坐標(biāo)系OP-XPYPZP（圖 2），在靜平臺(tái)B1B2B3上建立靜坐標(biāo)系O-XYZ。靜平臺(tái) 半徑為R，動(dòng)平臺(tái)半徑為r，中央立柱的高度為h。轉(zhuǎn) 臺(tái)球鉸鏈數(shù)學(xué)模型可以通過(guò)支鏈BiPi在動(dòng)坐標(biāo)系中的 位置矢量BiPi P 來(lái)描述。BiPi P 與球鉸法線n0 的夾角即 為球鉸鏈的轉(zhuǎn)角α。 動(dòng)坐標(biāo)系OP-XPYPZP 到靜坐標(biāo)系O-XYZ 的旋轉(zhuǎn)矩陣為：

注：c，s 分別為cos 和sin 的簡(jiǎn)寫。 對(duì)支鏈Li(i=1,2,3)，OPPi 相對(duì)于動(dòng)系OP-XPYPZP 的Xp 軸的夾角為γ Pi = (i −1)120°，OBi 相對(duì)于靜坐標(biāo) 系O-XYZ的X軸的夾角是γ Bi = (i − 1)120°。則：

2.3 球鉸鏈模型的無(wú)量綱化

在上節(jié)中，轉(zhuǎn)臺(tái)的結(jié)構(gòu)參數(shù)有r,R,h 三個(gè)。為了便于分析，通過(guò)無(wú)量綱化，將轉(zhuǎn)臺(tái)的結(jié)構(gòu)參數(shù)減少至 2 個(gè)，會(huì)方便轉(zhuǎn)臺(tái)參數(shù)的優(yōu)化設(shè)計(jì)。動(dòng)平臺(tái)半徑r和立柱高度h可用R分別表示為r=krR 和h=khR，其中：kr=r/R，kh=h/R。 將（1）、（2）、（3）分別代入（4），有

2.4 球鉸鏈法線的優(yōu)化設(shè)計(jì)

考慮到轉(zhuǎn)臺(tái)運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)：動(dòng)平臺(tái)只有轉(zhuǎn)動(dòng)沒(méi)有平 動(dòng)。選擇動(dòng)靜平臺(tái)平行時(shí)的支鏈向量作為初定的鉸鏈 座的法線向量nc。最優(yōu)法線n0 由nc 經(jīng)旋轉(zhuǎn)得到。由 n0 到nc 的旋轉(zhuǎn)可用變量ψn,θn 來(lái)表示。具體見圖3。 以nc 的方向?yàn)閆 軸，建立坐標(biāo)系OS-XYZ。X 先繞Z 軸旋轉(zhuǎn)ψn 至X ′ ，nc 再繞X ′ 軸旋轉(zhuǎn)θn 即可到達(dá)n0。 在OS-XYZ 中，nc S=[0,0,1]T，n0 相對(duì)于OS-XYZ 可表示為： 0S = 1 ⋅ S = 1 ⋅[0 0 1]T n T nc T 。 則n0 相對(duì)于動(dòng)系可表示為： 0 0 P S r n = T ⋅ n 。 注： ( n , n ) ( , ,0) ψ θ = ψ θ T1 T ；坐標(biāo)系OS-XYZ 相對(duì) 于動(dòng)系是固定的，轉(zhuǎn)換矩陣為Tr。 這樣就把求最優(yōu)鉸鏈座法線的問(wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)榍笞顑?yōu)ψn,θn 的問(wèn)題。采用的方法是二維搜索法。

以ψn,θn 作為搜索變量，在ψn∈[0°,360°] ， θn∈[0°,15°]的范圍內(nèi)搜索最優(yōu)的鉸鏈座法線。具體方法是：分別取一定的ψn,θn 值，求其在θ=54.07°， ψ∈[0°,360°]，γ=γ.空間內(nèi)的最大夾角，并將其記錄下來(lái)。使最大轉(zhuǎn)角αmax 最小的ψn,θn值即為最優(yōu)的鉸鏈 座法線方向。搜索流程見圖4。

最后輸出αmax=min(αmax0)，與 αmax0=αmax 對(duì)應(yīng)的ψn,θn 構(gòu)成的法線為最優(yōu)的 0 [ , , ]T ⋅ sψ nsθn −cψ nsθn cθn n = Tr 。 流程圖中的增量, n , n Δψ Δψ Δθ 的取值會(huì)影響最優(yōu)法線和相應(yīng)最大轉(zhuǎn)角的精度。理論上，增量取值越小越好，但取得太小，會(huì)增加不必要的運(yùn)算量，浪費(fèi) 時(shí)間。這里取1 , n 1 , n 0.05 Δψ = ° Δψ = ° Δθ = °。

3、最大轉(zhuǎn)角與位姿參數(shù)的關(guān)系

轉(zhuǎn)臺(tái)動(dòng)平臺(tái)只有轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)，工作空間包括進(jìn)動(dòng)角ψ，章動(dòng)角θ，初始角γP。進(jìn)動(dòng)角ψ 的變化范圍是0～ 360°全空間。這里只分析章動(dòng)角θ，初始角γP與球鉸鏈最大轉(zhuǎn)角αmax 的關(guān)系。在前面球鉸鏈法線的優(yōu)化設(shè)計(jì)中，與最優(yōu)球鉸鏈法線n0 對(duì)應(yīng)的最大轉(zhuǎn)角αmax是最優(yōu)的最大轉(zhuǎn)角。下面進(jìn)行的分析都是基于n0 和αmax 展開的。

3.1 與章動(dòng)角θ的關(guān)系

球鉸鏈的最大轉(zhuǎn)角αmax 在章動(dòng)角θ 取最大值時(shí)取得。所以計(jì)算給定運(yùn)動(dòng)空間下球鉸的最大轉(zhuǎn)角αmax，只要令章動(dòng)角θ 取最大值，進(jìn)動(dòng)角ψ 從0～360°變化， 即可搜索出來(lái)。

參數(shù)[kr,kh,γP]取不同值[0.5,3,20°]，[0.75,2,30°]， [0.75,3,40°]，[0.75,4,50°]，[1,3,60°]時(shí)，計(jì)算不同的最大章動(dòng)角θmax 對(duì)應(yīng)的最優(yōu)αmax，并做出兩者之間的關(guān) 系曲線（圖5）。

由圖5看出，球鉸鏈的最大夾角與章動(dòng)角成正比關(guān)系。章動(dòng)角θmax=54.07°時(shí)，球鉸鏈的最大夾角在 55°～60°之間。

3.2 與初始角Pγ的關(guān)系

分別作出[kr,kh]取不同值[0.5,3] ， [0.75,2] ， [0.75,3]，[0.75,4]，[1,3]時(shí)，球鉸最大轉(zhuǎn)角αmax 與初始角γP的關(guān)系曲線，見圖6。

在圖6中可以看到：鉸鏈的最大轉(zhuǎn)角αmax隨著初始角度γP的增大而減小。理論上，γP取得越大，越有利于減小鉸鏈的αmax。

4、最大轉(zhuǎn)角與結(jié)構(gòu)參數(shù)的關(guān)系

在前面的分析中，球鉸最大轉(zhuǎn)角αmax 越小越好。轉(zhuǎn)臺(tái)的結(jié)構(gòu)參數(shù)r,R 和h 都影響轉(zhuǎn)臺(tái)的最大夾角。所 以對(duì)轉(zhuǎn)臺(tái)的結(jié)構(gòu)參數(shù)基于減小最大轉(zhuǎn)角進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，就顯得尤為重要。

在3.2 節(jié)的分析中，得知：γP取值越大，越有利于減小鉸鏈的αmax。但考慮到初始角γP 越大，支鏈?zhǔn)?力性能越不好，也容易造成桿間產(chǎn)生干涉。最終選定初始角度γP=45°。 在2.3 節(jié)中，通過(guò)無(wú)量綱化將轉(zhuǎn)臺(tái)的三個(gè)結(jié)構(gòu)參 數(shù)r，R，h 減小到兩個(gè)kr,kh。作最大轉(zhuǎn)角與kr,kh 的關(guān)系圖（圖7）。

從圖7中可以看出，最大轉(zhuǎn)角αmax 隨著kr 的減小 而減小，隨著kh 的增大而減小。

5、參數(shù)優(yōu)化與運(yùn)動(dòng)空間的驗(yàn)證

5.1 轉(zhuǎn)臺(tái)參數(shù)的優(yōu)化設(shè)計(jì)

轉(zhuǎn)臺(tái)的參數(shù)包括結(jié)構(gòu)參數(shù)r,R,h，初始角度γP，和 球鉸鏈法線。初始角度在前面已經(jīng)選定為γP=45°。

5.1.1 轉(zhuǎn)臺(tái)結(jié)構(gòu)參數(shù)的設(shè)計(jì)

由圖7，選定kr=0.55，kh=3.75?？紤]球鉸鏈的尺 寸， 動(dòng)平臺(tái)半徑取r=100mm ， 則靜平臺(tái)半徑 R=r/kr=200mm，動(dòng)平臺(tái)高度h=khR=750mm。

5.1.2 球鉸鏈的法線

5.1.1 的計(jì)算中，定轉(zhuǎn)臺(tái)的結(jié)構(gòu)參數(shù)和初始角度： r=100mm，R=200mm，h=750mm，γP=45°。球鉸鏈最 優(yōu)法線的方向用2.3 節(jié)中方法進(jìn)行搜索。 搜索得球鉸1的最優(yōu)鉸鏈法線向量為 [0.0976,-0.1880,-0.9773]（相對(duì)于動(dòng)系的坐標(biāo)值）。轉(zhuǎn) 化為球坐標(biāo)：ψS=297.4°，θS=167.8°（圖8）。

鉸鏈2、 3和鉸鏈1 關(guān)于動(dòng)系的ZP 軸呈軸對(duì)稱。

5.1.3 球鉸鏈結(jié)構(gòu)參數(shù)的設(shè)計(jì)球鉸鏈的具體結(jié)構(gòu)形式見圖1。圖中：d 是球頭 桿的直徑，R 是球頭的半徑，h 是球窩蓋的厚度。θ 是球鉸鏈的最大偏轉(zhuǎn)角。圖1中，θ=90°-θ1-θ2，其中： 1 1 1 sin , 2 sin 2 h d R R θ = − θ = − 。 取d=12，R=25，h=9，計(jì)算得θ ≈ 55°，符合要 求。

5.2 鉸鏈夾角的驗(yàn)證

在5.1.2 節(jié)中得鉸鏈1 的法線方向：[0.0976, -0.1880,-0.9773]。鉸鏈2、3 和鉸鏈1 關(guān)于動(dòng)系的ZP 軸呈軸對(duì)稱。

確定鉸鏈的法線方向后，對(duì)其進(jìn)行驗(yàn)證。取 r=100mm，R=200mm，h=750mm，γP=45°，θ=54.07° 鉸鏈法線方向[0.0976,-0.1880,-0.9773]，作鉸鏈夾角 隨進(jìn)動(dòng)角n [0 ,360 ] ψ ∈ ° ° 的變化曲線（圖9）。

從圖9可以看出，鉸鏈轉(zhuǎn)角分布的比較均勻，在54°附近，最大夾角為54.89°<55°（設(shè)計(jì)的球鉸鏈的最大夾角）。球鉸鏈法線方向和結(jié)構(gòu)參數(shù)的設(shè)計(jì)都符合要求。

5.3 運(yùn)動(dòng)空間的驗(yàn)證 驗(yàn)證當(dāng)球鉸鏈實(shí)現(xiàn)最大轉(zhuǎn)角αmax=55°時(shí)，在各個(gè)進(jìn)動(dòng)角方向，章動(dòng)角可以達(dá)到的最大角度，見圖10。

圖10 中橫坐標(biāo)是進(jìn)動(dòng)角ψ，縱坐標(biāo)為章動(dòng)角θ。 θ = 54.07°包含在最大空間的范圍內(nèi)，可以實(shí)現(xiàn)指定的工作空間。設(shè)計(jì)的球鉸鏈法線方向和最大轉(zhuǎn)角符合設(shè)計(jì)要求。