引言

柔性機(jī)構(gòu)是一類利用材料的彈性變形傳遞運(yùn)動(dòng)、力或能量的新型機(jī)構(gòu)，具有無摩擦、無間隙、易維護(hù)、分辨率高和可一體化 加工等諸多優(yōu)點(diǎn)，被廣泛應(yīng)用于精密定位、MEMS加工、航空航天 等領(lǐng)域。與傳統(tǒng)剛性機(jī)構(gòu)相比，柔性機(jī)構(gòu)動(dòng)作過程中的彈性變形產(chǎn)生功能方向正剛度，需要較大的驅(qū)動(dòng)力，對(duì)驅(qū)動(dòng)器要求苛刻，且 降低了能量傳遞效率。凡此種種不足，一定程度上成為了其應(yīng)用范圍拓展的桎梏所在。為了克服柔性機(jī)構(gòu)功能方向正剛度帶來的不利影響，多位 學(xué)者將零剛度理念引入到柔性機(jī)構(gòu)中，巧妙利用負(fù)剛度抵消正剛度的原理，得到剛度為零的機(jī)構(gòu)，此種系統(tǒng)可在運(yùn)動(dòng)范圍內(nèi)任何一點(diǎn)獲得靜平衡狀態(tài)，因此又被稱作柔性靜平衡機(jī)構(gòu)。其突出優(yōu) 點(diǎn)是：力傳遞性能好，驅(qū)動(dòng)力小，能量傳遞效率高等。目前柔性靜平衡機(jī)構(gòu)的研究對(duì)象多集中于柔性微夾鉗。而作為柔性機(jī)構(gòu)基 本運(yùn)動(dòng)模塊的柔性鉸鏈,因其優(yōu)異特性而被深入研究，其中廣義交叉簧片型柔性鉸鏈相對(duì)行程較大，具有更大的應(yīng)用價(jià)值?；诖说牧銊偠热嵝糟q鏈?zhǔn)走x為構(gòu)建復(fù)雜柔性靜平衡機(jī)構(gòu)的基礎(chǔ)，其研究具有重要意義。

轉(zhuǎn)動(dòng)負(fù)剛度模型

以期實(shí)現(xiàn)零剛度特性，柔性鉸鏈的扭轉(zhuǎn)正剛度需用轉(zhuǎn)動(dòng)負(fù)剛度抵消。轉(zhuǎn)動(dòng)負(fù)剛度模型示意圖，如圖1所示。虛線為動(dòng)平臺(tái)初 始位置，彈簧為零長(zhǎng)彈簧，由圖2所示葉片彈簧來實(shí)現(xiàn)。葉片彈簧由兩根重疊的簧片組成，一端固連，另一端自由，當(dāng)開口端變形相對(duì)簧片長(zhǎng)度較小時(shí)彈簧力學(xué)特性具有很好的線性度。為了便于推導(dǎo)，采用理想線性零長(zhǎng)彈簧進(jìn)行分析。

根據(jù)三角形正弦定理，兩根彈簧對(duì)O 點(diǎn)的轉(zhuǎn)矩分別為
M1 =karsinφ1 =karsin（θ+β） （1）
M2 =-karsinφ2 =karsin（θ-β） （2）
總轉(zhuǎn)矩可表示為：
M=M1 +M2 =2karcosβsinθ （3）
式中：k—零長(zhǎng)彈簧剛度系數(shù)；r ， a—零長(zhǎng)彈簧 上 下安裝點(diǎn)距鉸鏈O的距離（安裝半徑）； β—彈簧安裝角度；θ—動(dòng)平臺(tái)轉(zhuǎn)過的角度。由公式（3），
當(dāng)β<π/2時(shí)，彈簧對(duì)O點(diǎn)產(chǎn)生的力矩與轉(zhuǎn)角方向相同，即對(duì)鉸鏈O形成了轉(zhuǎn)動(dòng)的負(fù)剛度。

零剛度柔性鉸鏈的運(yùn)動(dòng)模型

雙平衡彈簧零剛度柔性鉸鏈模型

為了建立準(zhǔn)確的零剛度柔性鉸鏈模型，首先需要對(duì)廣義交叉簧片柔性鉸鏈的力學(xué)特性進(jìn)行分析，其受力及變形，如圖3所示。根據(jù)文獻(xiàn)，若不考慮切向力影響，鉸鏈的無量綱扭轉(zhuǎn)剛度可表示為：
Km=Am p+Bm（4）
其中，Am = 2(9λ² -9λ+1)/15cosα +λcosα，
Bm =8(3λ²  -3λ+1) " 式中：Am—徑向力對(duì)扭轉(zhuǎn)剛度的影響權(quán)重；Bm—純扭轉(zhuǎn)載荷作用下的剛度。若Am為0，扭轉(zhuǎn)剛度將不受徑向力影響。

基于文獻(xiàn)中正負(fù)剛度并聯(lián)思想，將圖1中O點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)副、兩根平衡彈簧分別用柔性鉸鏈和葉片彈簧替換可得零剛度柔性鉸鏈的概念模型，如圖4所示。

由于結(jié)構(gòu)對(duì)稱性，僅分析動(dòng)平臺(tái)逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)情況。簡(jiǎn)單起見，兩根平衡彈簧對(duì)動(dòng)平臺(tái)的力首先向O點(diǎn)簡(jiǎn)化，再由O點(diǎn)向E點(diǎn)簡(jiǎn)化。彈簧1對(duì)E點(diǎn)的轉(zhuǎn)矩力為：
ME =2kasinθ(acosβ-λLcosαβ/2) （5）
FOx =2kacosβ/2 sinθ （6）
FOy =-4kacosβ/2 cos²θ/2（7）
公式（5）~（7）所得結(jié)果均為有量綱參數(shù)，將轉(zhuǎn)矩和力無量綱化后可得鉸鏈剛度為零的條件為：
MEL/EI -λcosα FOx L² EI =Km θ （8）所需平衡彈簧的剛度：
k= KmEI/2aL (acosβ-2λcosαcos β /2 ^)-1（9）

為了驗(yàn)證上述理論模型的正確性，通過有限元軟件Ansys中的大變形分析模塊對(duì)零剛度柔性鉸鏈力矩-轉(zhuǎn)角特性進(jìn)行仿真 分析，并與模型計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比較。所有鉸鏈的簧片具有相同的參數(shù)和材料屬性，如表1所示。平衡彈簧采用彈簧單元Combin14 來模擬，自由長(zhǎng)度為0。
 

表1 鉸鏈的簧片參數(shù)和材料屬性

L/mm	b/mm	h/mm	E/MPa
60	6	1	73000

 

以期全面驗(yàn)證模型，選擇三種不同的鉸鏈進(jìn)行分析，其幾何 參數(shù)，如表2所示。采用優(yōu)化方法在Ansys 中仿真計(jì)算，漸進(jìn)改變 平衡彈簧的剛度直至柔性鉸鏈剛度降為0，可得平衡彈簧的有限元分析剛度KFEA，如表3 所示。


 

表2 雙平衡彈簧零剛度鉸鏈幾何參數(shù)

序號(hào)	λ	α
1	1/5	0.9985
2	1/3	arccos√2/5
3	1/2	0.9553

表3 三種鉸鏈理論計(jì)算與FEA 結(jié)果對(duì)比

序號(hào)	K（N·mm/rad）	ktheo （ N/mm）	kFEA （ N/mm）	δ
1	2530.67	0.3412	0.324	5.3%
2	1622.22	0.2836	0.275	3.1%
3	1216.67	0.2745	0.26	5.6%

kFEA情況下的力學(xué)特性曲線，如圖5所示。結(jié)果表明，平衡彈簧可以大大降低柔性鉸鏈驅(qū)動(dòng)力矩，在15°范圍內(nèi)平均降低99.6%、 99.3%、99.5%。將平衡彈簧剛度kFEA 與ktheo 進(jìn)行對(duì)比，可以定義理論計(jì)算結(jié)果的誤差：
δ= (ktheo -kFEA)/kFEA×100% （10)

單平衡彈簧零剛度柔性鉸鏈模型

根據(jù)圖1可知，當(dāng)β為0時(shí)，兩個(gè)平衡彈簧始終重合，等價(jià)于僅有單根彈簧，彈簧對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)中心具有轉(zhuǎn)動(dòng)的負(fù)剛度。據(jù)此可得 單平衡彈簧零剛度柔性鉸鏈模型，如圖6所示。圖中：E—動(dòng)平臺(tái) 與簧片交點(diǎn)的中點(diǎn)；O—動(dòng)平臺(tái)上與簧片初始交叉點(diǎn)的重合點(diǎn) （即鉸鏈轉(zhuǎn)動(dòng)中心）。AO 平行于y 軸，長(zhǎng)為a；OE長(zhǎng)為s。平衡彈簧 對(duì)E 點(diǎn)的轉(zhuǎn)矩及力為：

對(duì)比分析公式（14），模型可同時(shí)適用于Am 為0 與不為0 的情況。選取兩種鉸鏈參數(shù)進(jìn)行有限元分析，如表4 所示。其中平衡 彈簧采用Combin14 單元模擬，a 長(zhǎng)度為50mm。仿真可以得到平衡彈簧剛度，如表5 所示。結(jié)果表明，不論徑向力對(duì)鉸鏈剛度有無 影響， kFEA 與理論剛度ktheo 之間的誤差都非常小，充分證明了理論模型的正確性。

為了驗(yàn)證葉片彈簧作為平衡彈簧在零剛度柔性鉸鏈中的可行性，進(jìn)而采用葉片彈簧代替Combin14 單元建立了有限元模 型，如圖7（b)所示。葉片彈簧簧片長(zhǎng)度為100mm，厚度2mm，寬度分別為17.8mm、21.6mm。仿真結(jié)果，如圖7 所示。

結(jié)論

利用轉(zhuǎn)動(dòng)負(fù)剛度抵消交叉簧片柔性鉸鏈的轉(zhuǎn)動(dòng)正剛度，獲得零剛度柔性鉸鏈系統(tǒng)，可以大幅降低鉸鏈的驅(qū)動(dòng)力矩，改善力傳遞性能，提高能量利用效率。針對(duì)零剛度柔性鉸鏈雙平衡彈簧和單平衡彈簧模型進(jìn)行了分析，分別得出兩種不同平衡方式的靜平衡條件，并利用有限元軟件對(duì)理論結(jié)果進(jìn)行了仿真驗(yàn)證。結(jié)果表明，雙平衡彈簧方式僅適用于徑向力不影響鉸鏈剛度的情況，而單平衡彈簧模型則無此限制，適用范圍更廣，但其軸向空間緊湊性受到一定影響，結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)需根據(jù)實(shí)際應(yīng)用綜合考慮。