在傳統(tǒng)的機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)和機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)研究中， 構(gòu)件被假定為剛體， 即構(gòu)件在外力和慣性力的作用下，產(chǎn)生的彈性變形被忽略不計(jì)。這是 由于早期的機(jī)構(gòu)，其運(yùn)轉(zhuǎn)速度相對(duì)較低，慣性力影響不大，而且構(gòu)件尺 寸一般也具有較大的裕度和足夠的剛度。但是，在現(xiàn)代機(jī)械中，機(jī)構(gòu)的 運(yùn)動(dòng)速度越來(lái)越快，機(jī)構(gòu)的重量要求盡可能減輕，而機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)精度 要求卻隨著機(jī)械性能的提高而提高。在較輕巧的且變速運(yùn)動(dòng)的機(jī)構(gòu) 中，其構(gòu)件的柔性增大，慣性力增大，在此類機(jī)構(gòu)的設(shè)計(jì)中，考慮彈性 變形或彈性位移對(duì)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)精度的影響有著重要的理論意義和實(shí)際 意義。

平面鉸鏈四桿機(jī)構(gòu)是機(jī)械中最主要的基本機(jī)構(gòu)之一，又是其它多 桿機(jī)構(gòu)的基礎(chǔ)，其應(yīng)用十分廣泛。本文針對(duì)平面鉸鏈四桿機(jī)構(gòu)進(jìn)行彈 性動(dòng)力學(xué)的分析與研究。

建立平面鉸鏈四桿機(jī)構(gòu)的有限元模型

在分析機(jī)構(gòu)的真實(shí)運(yùn)動(dòng)之前，首先假設(shè)：
（1）與采用剛性機(jī)構(gòu)的運(yùn) 動(dòng)分析方法得到的機(jī)構(gòu)名義運(yùn)動(dòng)的位移相比，由構(gòu)件變形引起的彈性位移仍然很?。?br /> （2）這種彈性位移不會(huì)影響機(jī)構(gòu)的名義運(yùn)動(dòng)。依據(jù)這兩個(gè)假設(shè)，我們可以把機(jī)構(gòu)真實(shí)運(yùn)動(dòng)的位移看成是名義運(yùn)動(dòng)的位移和彈性位移的迭加。名義運(yùn)動(dòng)可用剛體機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)分析方法求出，彈性位移需用結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)方法求解。

機(jī)構(gòu)處于運(yùn)動(dòng)循環(huán)中，因此其結(jié)構(gòu)形狀、相對(duì)位置、動(dòng)負(fù)荷、動(dòng)力特性等時(shí)刻處在變化中，采用“瞬時(shí)結(jié)構(gòu)假定”，即機(jī)構(gòu)在某一位置時(shí)，可將機(jī)構(gòu)的形狀和作用于其上的動(dòng)載荷瞬時(shí)“凍結(jié)”起來(lái)，從而可將其 瞬時(shí)地看成是一個(gè)結(jié)構(gòu)，并借用結(jié)構(gòu)分析的有限元方法來(lái)求解。

對(duì)于圖1 所示的四桿機(jī)構(gòu)，我們用一維單元離散，單元節(jié)點(diǎn)號(hào)及 坐標(biāo)如表1 所示。

從拉格朗日方程出發(fā)，得出系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程的一般形式：
MU＋CU＋KU＝P－MU^r （1）
式中：M、C、K 分別為系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣、剛度矩陣；U， U，U分別為廣義坐標(biāo)及其對(duì)時(shí)間的一階、二階導(dǎo)數(shù)列陣，它們均為未 知量；P 為廣義力列陣； U^r 為剛體加速度列陣， 可由剛體運(yùn)動(dòng)分析求出。

機(jī)構(gòu)在不同的位置有著不同的瞬時(shí)結(jié)構(gòu)。因此矩陣M、C、K 都是機(jī)構(gòu)位置的函數(shù)。因此方程（1）是一個(gè)二階變系數(shù)常微分方程組。它可 利用實(shí)振型迭加法和機(jī)構(gòu)連續(xù)運(yùn)轉(zhuǎn)的封閉解法來(lái)求解。 由于方程（1）的求解需要多次計(jì)算方程的特征值和特征向量，所 以比較費(fèi)時(shí)，因此我們采用一種工程簡(jiǎn)化分析方法來(lái)代替它，即略去 方程（1）左邊前兩項(xiàng)，得：
KU=P-MU^r（2）
方程（2）是一變系數(shù)線性方程組，它的求解顯然要快的多，但精度 相對(duì)就要低一些。實(shí)質(zhì)上，方程（1）和方程（2）代表了兩種不同概念的 處理方法，以方程（1）為基礎(chǔ)的分析方法稱為彈性動(dòng)力分析，簡(jiǎn)稱為 KED 分析，它的思想是將機(jī)構(gòu)看成是一個(gè)振動(dòng)系統(tǒng)，求其在外載荷和 慣性力激勵(lì)下的響應(yīng)。以方程（2）為基礎(chǔ)的分析方法稱為運(yùn)動(dòng)彈性靜 力分析，簡(jiǎn)稱為準(zhǔn)靜態(tài)分析，它的思想是將機(jī)構(gòu)看成一個(gè)彈性系統(tǒng)，求 其在外力和慣性力作用下的靜變形，文獻(xiàn)已證明在一般工程條件 下，用準(zhǔn)靜態(tài)分析代替KED分析不會(huì)帶來(lái)較大誤差。

平面鉸鏈四桿機(jī)構(gòu)彈性動(dòng)力分析算例

現(xiàn)以圖1 所示的平面鉸鏈四桿機(jī)構(gòu)為例，首先用準(zhǔn)靜態(tài)分析法對(duì) 其進(jìn)行彈性動(dòng)力分析，然后再利用（2）式計(jì)算。設(shè)已知構(gòu)件1、2、3、4 的 尺寸l1、l2、l3、l4 及主動(dòng)件2 的方位角α2 和等角速度ω2， 現(xiàn)對(duì)該機(jī)構(gòu)的 位置、速度及加速度進(jìn)行分析。

位置分析

為了對(duì)該機(jī)構(gòu)進(jìn)行運(yùn)動(dòng)分析，首先建立直角坐標(biāo)系，如圖1 所示， 并將各構(gòu)件以矢量形式表示出來(lái)，則可寫出該機(jī)構(gòu)各桿所構(gòu)成的矢量 封閉方程為：

式（4）和（5）中的α3，α4均有兩個(gè)解，可根據(jù)機(jī)構(gòu)初始安裝情況和 機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)連續(xù)性來(lái)確定其確切值。

速度分析

將式（3）對(duì)時(shí)間t取一階導(dǎo)數(shù)，可求得構(gòu)件3的角速度ω3 為：

平面鉸鏈四桿機(jī)構(gòu)的力學(xué)分析

在圖1 所示的機(jī)構(gòu)中，設(shè)主動(dòng)件2 的輸入?yún)?shù)為α2；從動(dòng)件4 的 輸出參數(shù)為α4；各桿長(zhǎng)度為：li(i=1,2,3,4)，MO 和MC 分別為輸入力矩和 輸出力矩；mi 和Ji 分別為各桿件的質(zhì)量和繞通過(guò)桿件質(zhì)心軸線的轉(zhuǎn)動(dòng) 慣量；ω2 為常量。 由虛位移原理， 可求得在輸出力矩MC 不變的情況下的輸入力矩 MO，即：

當(dāng)機(jī)構(gòu)的具體參數(shù)給定后， 可以通過(guò)上述公式求得廣義力列陣 P，將其代入式KU=P-MU^r中，這時(shí)，式中K、P、M 及MU^r 均為已知，利用現(xiàn)有的結(jié)構(gòu)有限元分析程序進(jìn)行計(jì)算，即可得到從動(dòng)件在任意轉(zhuǎn)角 位置時(shí)，其上B點(diǎn)的彈性位移（即B點(diǎn)的廣義坐標(biāo)U），從而進(jìn)一步可 求出由于機(jī)構(gòu)的彈性變形所引起的從動(dòng)件轉(zhuǎn)角誤差。

本文摘自《科技信息》，原創(chuàng)作者：趙竹青，編輯：李皓成